Introducción
Para medir una distancia o la altura de un objeto, como por ejemplo, medir la altura de un árbol a partir del ancho de la carretera y con dos ángulos de elevación conocidos, como se muestra en la figura 8.4, es necesario recurrir a las leyes de senos y cosenos.
Otra de las aplicaciones de estas dos leyes es en la construcción, específicamente en la topografía, cuando se está midiendo el perímetro de un terreno de forma irregular, el ancho de un río, la altura de una barranca y no es posible la medición de forma directa. En estos casos podemos emplear triángulos oblicuángulos para hallar la medida de forma indirecta.
Un triángulo es oblicuángulo cuando no tiene un ángulo recto; si tiene tres ángulos agudos, se denomina triángulo oblicuángulo acutángulo, como se muestra en la figura 8.5a, pero si tiene un ángulo obtuso, entonces se trata de un triángulo obtusángulo, como se muestra en la figura 8.5b.
Ley de senos
La ley de senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo oblicuángulo cualquiera. Esta ley es la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a él.
En la figura 8.6, tenemos un triángulo oblicuángulo. Si lo dividimos con el segmento de recta BD entonces obtenemos dos triángulos rectángulos; en ellos sí podemos aplicar las funciones trigonométricas estudiadas en la lección anterior:
Despejando en ambas ecuaciones “h”, tendríamos que: h = c sen A y h = asen C
Igualando valores de “h”, tendremos que:
c sen A asen C
Con esta ley podemos conocer la dimensión de los ángulos y lados de un triángulo oblicuángulo, y para realizar este tipo de cálculo necesitamos conocer:
a) Dos lados y un ángulo opuesto a uno de estos lados.
b) Dos ángulos y el lado que los une.
Ejemplos:
Cuando conocemos la longitud de dos lados y la amplitud del ángulo opuesto a uno de ellos, calcular la magnitud de los ángulos y lados del triángulo de la figura 8.7 que se desconocen.
Solución:
Cuando conocemos el valor de dos ángulos y la longitud del lado que los une, se realiza el siguiente procedimiento.
Ejemplo 1: Calcular las dimensiones de los lados y ángulos del triángulo oblicuángulo obtusángulo que se muestra en la figura 8.12:
Solución:
Ley de cosenos
La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras y se aplica a todos los triángulos.
Esta ley consiste en: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que se forma.
En seguida, presentamos un ejercicio en donde se aplica la ley del coseno en un triángulo oblicuángulo cualquiera, para demostrar de dónde se obtiene esta ley y cuáles son sus características. Como se muestra en la figura 8.17:
Considerando el teorema de Pitágoras, afirmamos que:
c2 = h2 + x2
También que: a2 = h2 + (b− x )2
Desarrollando las operaciones, tendremos:
a2 = h2 + b2 − 2bx + x2
Sustituyendo el valor de h2, tendremos:
Resumiendo lo anterior, la ley de cosenos es:
Aunque también de estas expresiones podemos conocer los ángulos, si despejamos en cada una de ellas el ángulo deseado, quedan así:
Es decir, que por la ley de cosenos también podemos obtener la longitud de los lados de un triángulo y la dimensión de los ángulos.
Los únicos requisitos que tenemos para utilizar la ley de cosenos son:
a) Conocer la magnitud de los tres lados (LLL).
b) Conocer un ángulo y la longitud de los lados que lo forman (ALL).
Ejemplos:
- Calcular el lado (a) y los ángulos B y C que faltan del triángulo oblicuángulo ABC, de la figura 8.18.
Solución:
Veamos otro ejemplo:
Doña Martha tiene un terreno donde planea construir su casa y hacer una huerta en la parte trasera, pero no sabe qué superficie tiene el terreno, ni para la casa ni para la huerta, por lo que tenemos que ayudarla. El terreno es como la figura 8.19 que puedes ver a continuación, con las dimensiones que aparecen. ¿Cuánto tiene de superficie?
Solución:
Solución de triángulos oblicuángulos mediante la ley de cosenos cuando se conocen los tres lados
Ahora aplicaremos la solución de triángulos oblicuángulos, considerando la ley de cosenos, pero cuando la información que tenemos es la magnitud de los tres lados del triángulo.
Para ello trabajaremos con las fórmulas de la ley de los cosenos que mencionamos a continuación:
Desde luego que si observamos bien, para aplicar estas fórmulas tenemos que conocer la dimensión de cada uno de los lados del triángulo.
Ejemplo 1: Apliquemos las fórmulas en el triángulo de la figura 8.30.
Solución:
Sustituimos: 26.442º + 119.736º + 33.822 = 180º
Ejemplo 2: Carlos acaba de heredar de su abuelo un terreno, pero no sabe cuántos metros cuadrados tiene de superficie, solo sabe las dimensiones del terreno. Quiere saber para qué le alcanza, si para construir una casa o un establo. El terreno tiene la forma de la figura 8.31.
Solución:
Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.
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